Основное содержание монографии группируется вокруг вопросов связи точности аппроксимации периодических функций с их структурными свойствами. Для широкого класса пространств излагаются теория наилучших приближений, вопросы приближения линейными методами, в том числе и классическими, такими, как суммы фурье, фейера, Абеля-Пуассона, Рогозинского, Ахиезера-Крейна-Фавара и. т. д. Строятся новые методы приближения, имеющие в апределенных направлениях лучшие аппроксимативные свойства, чем ранее известные. Особое внимание уделяется вопросу численных оценок встречающихся постоянных. Рассматривается ряд экстремальных задач теории приближений, связанных с нахождением точных постоянных в прямых теоремах теории приближения и неравенств для производных.